Geometría y Álgebra Lineal 2

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Programa



  • Semana 1 (del 25/02 al 01/03):
    Repaso del curso Geometría y Álgebra Lineal 1:
    - Matriz asociada a una transformación lineal.
    - Matrices de una suma y composición de transformaciones.
    - Matrices de cambio de bases. Matrices semejantes.
    Diagonalización:
    - Valores y vectores propios de una transformación lineal.
    - Ejemplo para un operador sobre un espacio vectorial real.
  • Semana 2 (del 04/03 al 08/03):
    Diagonalización (continuación):
    - Ejemplo para un operador sobre un espacio vectorial complejo.
    - Subespacio propios. Ejemplos y observaciones.
    - Polinomio característico. Ejemplos y observaciones.
    - Operadores diagonalizables. Definición y caracterización en términos de la existencia de bases formadas por vectores propios.
  • Semana 3 (del 11/03 al 15/03):
    Diagonalización (continuación):
    - Ejemplos de operadores diagonalizables y no diagonalizables.
    - Determinación de operadores diagonalizables en términos de sus valores propios.
    - Descomposición de un espacio vectorial en términos de los subespacio propios de un operador.
    - Multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio. Caracterización de operadores diagonalizables en términos de estas multiplicidades.
    Teorema de Gershgorin:
    - Discos de Gershgorin.
    - Eunciado del Teorema de Gershgorin.
    - Ejemplo: cómo ver si una matriz es diagonalizable usando el Teorema de Gershgorin.
  • Semana 4 (del 18/03 al 22/03):
    Teorema de Gershgorin (continuación):
    - Demostración del Teorema de Gershgorin.
    - Teorema de Gershgorin para la traspuesta de una matriz.
    - Ejemplo: usar ambas versiones del Teorema de Gershgorin.
    Subespacios invariantes y forma canónica de Jordan:
    - Subespacios invariantes.
    - Sub-bloques y bloques de Joran.
    - Teorema de la forma canónica de Jordan.
    - Determinación de todas las formas canónicas de Jordan de orden 2 y 3.
    - Ejemplo 1: forma canónica de Jordan de una matriz de orden 3 y no diagonalizable.
  • Semana 5 (del 25/03 al 29/03):
    Subespacios invariantes y forma canónica de Jordan (continuación):
    - Forma de Jordan y matrices semejantes.
    - Ejemplo: forma canónica de Jordan de una matriz de orden 4 y no diagonalizable.
    Espacios vecoriales con producto interno:
    - Producto interno y norma.
    - Ejemplos de productos internos en álgebra y cálculo.
    - Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
    - Norma inducida.
    - Teorema de Jordan - von Neumann.
    - Vectores colineales.
    - Vectores ortogonales.
    - Teorema generalizado de Pitágoras.
  • Semana 6 (del 01/04 al 05/04):
    Espacios vecoriales con producto interno (continuación):
    - Demostración del teorema generalizado de Pitágoras y observaciones.
    - Conjuntos ortogonales y ortonormales.
    - Propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales.
    - Ejemplos.
    Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt:
    - Bases ortogonales y ortonormales.
    - ¿Cómo construir una base ortonormal?
    - Ejemplos de cómo aplicar el proceso de Gram-Schmidt.
    Descomposición QR:
    - Enunciado del teorema de descomposición QR.
    - Matriz de transición entre una base cualquiera y su base ortonormal obtenida por Gram-Schmidt.
    - Idea de la demostración del teorema de descomposición.
  • Semana 7 (del 08/04 al 12/04):
    Descomposición QR (continuación):
    - Ejemplo de descomposición QR.
    Complemento ortogonal:
    Proyección ortogonal:
    Aproximación por mínimos cuadrados:
  • Semana 8 (del 23/04 al 26/04):
    Aproximación por mínimos cuadrados:
    - Ejemplo lineal.
    - Ejemplo cuadrático.
  • Semana 9 (del 06/05 al 10/05):
    Transformaciones entre espacios vectoriales con producto interno:
    - Funcionales lineales.
    - Teorema de Representación de Riez.
    - Adjunta de una transformación lineal.
    - Existencia de la adjunta de una transformación.
    - Ejemplos de adjuntas.
  • Semana 10 (del 13/05 al 17/05):
    Transformaciones entre espacios vectoriales con producto interno (continuación):
    - Representación matricial de la adjunta de una transformación.
    - Operadores adjuntos.
    - Teorema Espectral para operadores autoadjuntos.
    - Teorema Espectral para matrices simétricas y hermíticas.
  • Semana 11 (del 20/05 al 24/05):
    Isometrías lineales:
    - Concepto de isometría lineal.
    - Ejemplos de isometrías.
    - Equivalencia entre preservación del producto interno y preservación de la norma.
    - Inyectividad de isometrías lineales.
    - Caracterización de isometrías lineales sobreyectivas entre espacios vectoriales de dimensión finita.
    - Isometrías lineales sobreyectivas y preservación de bases ortonormales.
    - Operadores lineales que son isometrías.
    - Operadores lineales isométricos y sobreyectivos.
  • Semana 12 (del 27/05 al 31/05):
    Operadores ortogonales y unitarios:
    - Definición de operadores ortogonales y unitarios.
    - Caracterización de matrices ortogonales en términos de sus columnas.
    - Representación matricial de operadores ortogonales.
    - Valores propios de operadores unitarios.
    - Valores propios de operadores ortogonales.
    - Ortogonalidad entre subespacios propios de operadores ortogonales y unitarios.
    - Teorema Espectral para operadores unitarios.
    - Teorema Espectral para matrices unitarias.
  • Semana 13 (del 03/06 al 07/06):
    Descomposición en valores singulares:
    - Operadores positivos y no-negativos.
    - Teorema de Descomposición en Valores Singilares de una transformación lineal.
    - Teorema de Descomposición en Valores Singilares de una matriz rectangular.
    - Teorema de Descomposición Polar para un operador lineal invertible.
    - Teorema de Descomposición Polar para una matriz unitaria.
  • Semana 14 (del 10/06 al 14/06):
    Descomposición en valores singulares (continuación):
    - Ejemlos de descomposición en valores singulares: caso de matrices cuadradas, caso de matrices rectangulares con más columnas que filas, y caso de matrices rectangulares con más filas que columnas.

    Formas cuadráticas:
    - Definición de formas cuadráticas.
    - Representación matricial de una forma cuadrática.
    - Representación canónica de una forma cuadrática.
  • Semana 15 (del 17/06 al 21/06):
    Formas cuadráticas (continuación):
    - Tipos de formas cuadráticas: definidas positivas y negativas, semidefinidas positivas y negativas, indefinidas.
    - Teorema de clasificación de formas cuadráticas.
    - Regla de Descartes.
    - Algunas aplicaciones en Cálculo Diferencial e Integral de varias variables.

NOTAS DE CURSO: Puede descargar a continuación las notas para cada uno de los temas del curso, en las cuales están basadas mis clases.

Bibliografía



  • Álgebra Lineal (5ta edición). Stanley I. Grossman. Editorial McGraw-Hill.
  • Linear Algebra Done Right (2nd edition). Sheldon Axler. Editorial Springer.
  • Linear Algebra (1st edition). Kenneth Hoffman y Ray Kunze. Editorial Prentice/Hall.


Música para estudiar



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