Cálculo Vectorial

Bienvenidos a mi sitio para el curso de Cálculo Vectorial del 2do semestre de 2020. A continuación podrá encontrar información detallada del mismo.

El curso se hará en modalidad a distancia, siguiendo el protocolo de bioseguridad para contener la propagación del SARS-CoV-2.


HORARIO



Dos clases a la semana, en línea a través de Zoom. Lunes y Miércoles de 18:00 a 19:30.



PROGRAMA



Puede ver la información detallada en el EVA del curso.



NOTAS DE CURSO



Puede descargar a continuación mis notas para las clases de teórico.


CLASES EN LÍNEA Y HOJA DE RUTA



A continuación puede ver y descargar las clases en línea grabadas (Grupo 1 de Teórico).
También se especifican los contenidos cubiertos en cada clase.

  • REPASO DE DIFERENCIABILIDAD:

    Clase 1 (17 de Agosto de 2020):
    - Presentación del curso e informaciones preliminares.
    - Repaso de continuidad y diferenciabilidad.
    - Teoremas importantes de diferenciabilidad.
    - Ejemplos.

  • EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS:

    Clase 2 (19 de Agosto de 2020):
    - Ejemplo de repaso de la Clase 1 (ser diferenciable no implica ser de clase C1).
    - Definición y ejemplos de extremos absolutos y relativos de campos escalares.
    - Puntos estacionarios.
    - El conjunto de puntos críticos contiene aquéllos donde se alcanzan extremos (enunciado).
    - Interpretación geométrica de puntos críticos mediante el plano tangente.
    - Repaso del Teorema de Taylor para funciones de clase C3.
    - Diferencial de orden 2 y matriz Hessiana.
    - Criterio del Diferencial de Orden 2 (enunciado).



    Clase 3 (24 de Agosto de 2020):
    - Puntos estacionarios y de silla. Ejemplos.
    - Demostración: El conjunto de puntos críticos contiene aquéllos donde se alcanzan extremos.
    - Ejemplo: aplicar el Criterio del Diferencial de orden 2.
    - Demostración: Criterio del Diferencial de Orden 2.



    Clase 4 (26 de Agosto de 2020):
    - Criterio del diferencial de orden dos para campos escalares de dos variables.
    - Ejemplo: Aplicación de la versión anterior. Puntos críticos que satisfacen alguna ecuación.
    - ¿Qué hacer cuando el criterio no decide?.
    - Ejemplo: Máximos y mínimos absolutos analizando la fórmula que define al campo.
    - Comentarios finales: Extremos absolutos y dónde encontrarlos sobre dominios compactos.

  • TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA:

    Clase 5 (31 de Agosto de 2020):
    - Repaso del teorema de la función inversa en una variable.
    - Campos vectoriales localmente invertibles.
    - Enunciado del teorema de la función inversa.
    - Ejemplos. Cómo aplicar el teorema y cómo hallar inversas locales.
    - Idea de la demostración del teorema de la función inversa.

  • TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA:

    Clase 6 (02 de Septiembre de 2020):
    - El problema de despejar.
    - Enunciado del teorema de la función implícita:
      1ra versión para campos escalares de dos variables.
    - Ejemplo: aplicación de la 1ra versión del teorema.
      Hallar la recta tangente a una curva de nivel en un punto.
    - Enunciado del teorema de la función implícita:
      2da versión para campos escalares de varias variables.
    - Ejemplo: aplicación de la 2da versión del teorema.
      Hallar el plano tangente a una superficie de nivel en un punto.




    Clase 7 (07 de Septiembre de 2020):
    - Enunciado del teorema de la función implícita:
      Versión general para campos vectoriales.
    - Observaciones del teorema de la función implícita:
    - Ejemplo: aplicación de la versión general.
      Hallar la recta tangente a una curva de intersección entre dos superficies de nivel.
    - Demostración del teorema de la función implícita.


  • EXTREMOS CONDICIONADOS Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:

    Clase 8 (09 de Septiembre de 2020):
    - El problema de hallar extremos de un campo escalar en la frontera de su dominio.
    - Definición de extremos condicionados.
    - Enunciado del teorema de multiplicadores de Lagrange (para una condición).
    - Interpretación geométrica del enunciado.
    - Demostración del teorema.
    - Ejemplo.



    Clase 9 (14 de Septiembre de 2020):
    - Ejemplo de multiplicadores de Lagrange para una condición.
    - Teorema de multiplicadores de Lagrange (varias condiciones).
    - Demostración del teorema.
    - Ejemplo.

  • CURVAS PARAMÉTRICAS:

    Clase 10 (16 de Septiembre de 2020):
    - Definición de curvas paramétricas y curvas regulares.
    - Velocidad y aceleración instantánea de una parametrización.
    - Curvas simples, cerradas y cerradas simples.
    - Ejemplos: recta, circunferencia unitaria, hélice, cúspide, lazo.
    - Recta tangente a una curva. Versor.



    Clase 11 (21 de Septiembre de 2020):
    - Reparametrización y cambio de parámetros.
    - Reparametrizaciones positivas y negativas (orientación).
    - Reparametrizaciones y regularidad. Ejemplo.
    - Parametrizaciones equivalentes.
    - Parametrizaciones por longitud de arco.
    - Longitud de arco de una curva e invarianza bajo reparametrizaciones.
    - Método para reparametrizar una parametrización regular por longitud de arco.
    - Función longitud de arco.



    Clase 12 (23 de Septiembre de 2020):
    - Reparametrización por longitud de arco.
    - Ejemplo: curva con longitud de arco finita.
    - Ejemplo: curva con longitud de arco infinita.
    - Definición y significado geométrico de curvatura.
    - Ejemplos: curvatura de una recta y de una circunferencia de radio arbitrario.
    - Las únicas curvas con curvatura nula son las rectas y segmentos de recta.
    - Curvatura de curvas contenidas en una esfera.



    Clase 13 (28 de Septiembre de 2020):
    - Versor normal.
    - Plano osculador.
    - Versor binormal.
    - Triedro de Frênet-Serret.
    - La derivada del versor binormal es colineal al versor normal (torsión).
    - Curvas con torsión nula.
    - Fórmulas de Frênet-Serret.
    - Ecuaciones de Frênet-Serret.

  • INTEGRALES DE LÍNEA:

    Clase 14 (30 de Septiembre de 2020):
    - Construcción de la integral de línea para campos escalares.
    - Observaciones de notación e interpretaciones físicas.
    - Ejemplo.
    - Propiedades de la integral de línea para campos escalares.
    - Integrales de línea para campos vectoriales.
    - Trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una curva.
    - Observaciones de notación.
    - Ejemplo.
    - Propiedades de la integral del línea para campos vectoriales.

  • CAMPOS GRADIENTES:

    Clase 15 (05 de Octubre de 2020):
    - Definición de campo de gradientes y potencial escalar.
    - Gravitación y potencial newtoniano.
    - Gradiente nulo implica ser constante.
    - Potenciales de un mismo campo difieren en una constante.
    - Regla de Barrow para campos gradientes.
    - Campos conservativos.
    - Caracterización de campos gradientes (1er teorema fundamental del cálculo para campos
      gradientes).
    - Condición necesaria para que un campo sea de gradientes. Ejemplo.

  • ROTACIONAL Y DIVERGENCIA:

    Clase 16 (07 de Octubre de 2020):
    - Transformación lineal nabla.
    - Definición de rotacional de un campo vectorial.
    - Campos irrotacionales.
    - Ejemplo de campo irrotacional.
    - Rapidez angular y tangencial de cuerpos rígidos).
    - Propiedades del rotacional.
    - Condición necesaria para que un campo sea de gradientes (revisitado).
    - Ejemplo de campo rotacional.
    - Campos gradientes = campos irrotacionales (para dominios simplemente conexos o convexos).
    - Conjuntos convexos y simplemente conexos.



    Clase 17 (19 de Octubre de 2020):
    - Definición y ejemplos de divergencia.
    - Interpretación física de la divergencia de un campo de velocidades.
    - Propiedades de la divergencia.
    - Campos solenoidales y ejemplos.
    - Campos de rotores y potencial vector.
    - Potenciales vector de un mismo campo vectorial.
    - Teorema: campos solenoidales = campos de rotores.
    - Ejemplo: hallar el potencial vector de un campo solenoidal.

  • SUPERFICIES PARAMÉTRICAS:

    Clase 18 (21 de Octubre de 2020):
    - Superficies paramétricas (definición y ejemplos).
    - Gráfica de una función, hemisferios de la esfera unitaria, coordenadas esféricas.
    - Parametrizaciones regulares (definición, caracterización y ejemplos).
    - Conos, tubos a lo largo de una curva regular.
    - Plano tangente a una superficie con parametrización regular.
    - Caracterización de vectores tangentes.



    Clase 19 (26 de Octubre de 2020):
    - Caracterización de vectores tangentes.
    - El problema de calcular el área de una superficie paramétrica.
    - Área de una superficie paramétrica (definición como integral doble).
    - Área de un helicoide.
    - Área de la gráfica de una función.
    - Área del hemisferio norte de la esfera unitaria.
    - Ausencia de regularidad en el borde de una superficie y aparición de integrales impropias.
    - Área de una superficie de revolución.



    Clase 20 (28 de Octubre de 2020):
    - Vectores normales a una superficie.
    - Orientaciones y superficies orientables.
    - Ejemplo de superficie orientable: esfera unitaria.
    - Ejemplo de superficie no orientable: cinta de Möbius.
    - Toda superficie orientable admite solo dos orientaciones.

  • INTEGRALES DE SUPERFICIE:

    Clase 21 (04 de Noviembre de 2020):
    - Definición de integral de superficie para campos escalares.
    - Área de una superficie.
    - Ejemplo: Integral de un campo escalar sobre un helicoide.
    - Ejemplo: masa y centro de gravedad del hemisferio norte de la esfera unitaria.
    - Ejemplo: cálculo de la masa anterior con otra parametrización.
    - Propiedades: linealidad, monotonía, aditividad respecto al dominio de integración,
      valor absoluto.
    - Parametrizaciones regularmente equivalentes y cambio de coordenadas.
    - Ejemplo: dos parametrizaciones del hemisferio norte de la esfera unitaria que son
      regularmente equivalentes.
    - Teorema de cambio de coordenadas (enunciado).



    Clase 22 (05 de Noviembre de 2020):
    - Teorema de cambio de coordenadas (demostración).
    - Definición de integral de superficie para campos vectoriales.
    - Ejemplo: cálculo de la integral de un campo vectorial sobre el hemisferio norte de la
      esfera unitaria.
    - Ejemplo: masa de un fluido que pasa a través de una superficie.
    - Definición de flujo de un campo vectorial sobre una superficie (orientable).
    - Teorema: flujos según parametrizaciones que preservan o revierten la orientación.
    - Propiedades: linealidad, aditividad respecto al dominio de integración, valor absoluto.

  • TEOREMA DE GREEN:

    Clase 23 (09 de Noviembre de 2020):
    - Teorema de Green: enunciado y demostración.
    - Ejemplo: cálculo de una circulación mediante una integral doble.
    - Corolario: cálculo de áreas de regiones planas.
    - Ejemplo: área encerrada por la curva hipocicloide.
    - Teorema de Green generalizado.
    - Corolario: invariancia de la integral de línea de campos irrotacionales.

  • TEOREMAS DE GREEN Y STOKES:

    Clase 24 (11 de Noviembre de 2020):
    - Ejemplo: aplicación de la propiedad de invariancia en el Teorema de Green.
    - Borde de una superficie paramétrica.
    - Orientación en el borde y orientaciones compatibles.
    - Ejemplo: borde de un cilindro y orientación.
    - Teorema de Stokes.
    - Ejemplo: cálculo de una circulación y el saber escoger la superficie.
    - Ejemplo: Teorema de Stokes aplicado a la unión de dos superficies paramétricas con bordes
      colindantes.

  • TEOREMAS DE STOKES Y DE GAUSS:

    Clase 25 (16 de Noviembre de 2020):
    - Repaso del Teorema de Stokes.
    - Aplicación: Ley de inducción de Faraday.
    - Campos irrotacionales vs. campos de gradientes.
    - Teorema de la Divergencia de Gauss. (enunciado).
    - Ejemplo: convertir una integral de superficie complicada en una integral triple simple.
    - Corolario: Cálculo de volúmenes.
    - Teorema de Gauss generalizado.

  • TEOREMA DE GAUSS:

    Clase 26 (18 de Noviembre de 2020):
    - Teorema de la Divergencia de Gauss. (demostración).
    - Ejemplo: ley de Gauss en electromagnetismo.

  • FORMAS DIFERENCIALES:

    Clase 27 (23 de Noviembre de 2020):
    - Definición (informal) de formas diferenciales.
    - Intuición geométrica de formas.
    - Integración de formas diferenciales.
    - Ejemplo: notación de integral de 2-formas para integrales de superficie.
    - k-Formas vistas como funciones de objetos geométricos de dimensión k a valores reales.
    - Producto exterior de formas. Reglas y propiedades básicas.
    - Ejemplo: producto de una 1-forma con una 2-forma.



    Clase 28 (25 de Noviembre de 2020):
    - Derivada exterior.
    - Ejemplos: derivada exterior de una 1-forma y de una 2-forma.
    - 1-formas vs. campos vectoriales suaves.
    - 2-formas vs. campos vectoriales suaves.
    - 3-formas vs. campos escalares suaves.
    - Derivada exterior de 0-formas vs. operador gradiente.
    - Derivada exterior de 1-formas vs. operador rotacional.
    - Derivada exterior de 2-formas vs. operador de divergencia.
    - Formas cerradas y formas exactas.
    - Formas cerradas vs. campos irrotacionales y solenoidales.
    - Formas exactas vs. campos con potencial escalar y con potencial vector.
    - Toda forma exacta es cerrada.
    - ¿Cuándo una forma cerrada es exacta?
    - Teoremas de Green, Stokes y Gauss en el lenguaje de formas diferenciales.


Evaluación



  • Primer parcial (40 puntos): viernes 16 de Octubre, a las 10:00.
  • Segundo parcial (60 puntos): sábado 05 de Diciembre, a las 17:30.
  • Examen (100 puntos): fecha y hora por definir.

Bibliografía



Además de hacer uso del material disponible en la web del curso dentro de la plataforma EVA, también consultaré la siguiente bibliografía para preparar mis clases:

  • Cálculo Vectorial (Notas de curso).
    Ana González.
    Disponible aquí.
    Referencia principal.
  • Calculus (Vol. 2).
    Tom M. Apostol.
    Editorial Reverté.
    Referencia complementaria enfocada en las primeras dos partes del curso (extremos relativos - Teorema de Gauss).
  • Cálculo Vectorial.
    Jerry E. Marsden y Anthony J. Tromba.
    Editorial Pearson.
    Referencia complementaria enfocada en las primeras dos partes del curso (extremos relativos - Teorema de Gauss).
  • Calculus on Manifolds.
    Michael Spivak.
    Westview Press.
    Referencia complementaria enfocada en la tercera parte del curso (formas diferenciales - Teorema General de Stokes).

Música para estudiar



Recomiendo los siguientes canales de YouTube con música adecuada para estudiar:

Estos canales también cuentan con listas de reproducción en Spotify.

Ahora, si lo que quiere es aislar el ruido exterior, le recomiendo el siguiente canal de ruido blanco:

Consultas



De varias maneras:

  • A través del foro de consultas del EVA.
  • Por correo electrónico: mperez[AT]fing[DOT]edu[DOT]uy
  • En línea a través de Zoom (requiere cita previa).