Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables

Bienvenidos a mi sitio para el curso de Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables. A continuación podrá encontrar información detallada del mismo.

Actualmente no estoy dictando este curso, por lo que los contenidos de este sitio se encuentran sin actualizar.


NOTAS DE CURSO



Puede descargar a continuación mis notas para los primeros temas del curso.


CLASES EN LÍNEA



A continuación puede ver y descargar las clases en línea grabadas durante en 1er semestre de 2020 (curso llevado a distancia debido a la emergencia sanitaria generada por el SARS-CoV-2). La modalidad de estas clases fue teórico-práctico, es decir, se explicaron conceptos de la teoría a medida que se resolvieron problemas del práctico.

  • SERIES NUMÉRICAS / PRÁCTICO 3:

    Clase 1: criterio de divergencia mediante el límite del término general, criterios de comparación y equivalentes (paso al límite), series telescópicas, geométricas y alternantes (Leibniz).

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 2: criterio de Leibniz, convergencia absoluta, criterio de equivalentes, criterios del cociente (d'Alembert) y de la raíz (Cauchy), criterio de comparación, diseñar contra-ejemplos, una aplicación de series geométricas.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.


  • INTEGRALES IMPROPIAS / PRÁCTICO 4:

    Clase 3: criterio serie-integral, criterio de comparación, la campana de Gauss.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 4: separación de integrales impropias, convergencia absoluta, paridad e imparidad en integrales impropias, separación de integrales impropias en su dominio, criterio de equivalentes, cálculo de integrales impropias cuando se pueden hallar primitivas.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 5: periodicidad, integrales impropias de segunda especie, sepraración, integrales mixtas, criterio de equivalentes y convergencia según parámetros, criterio serie-integral.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.


  • ECUACIONES DIFERENCIALES / PRÁCTICO 5:

    Clase 6: ecuaciones diferenciales de 1er orden, método para resolver ecuaciones de primer orden lineales no-homogéneas, variación de constantes, condiciones iniciales.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 7: ecuaciones de variables separables, ecuaciones de primer orden no-homogéneas, variación de constantes, ecuaciones de segundo orden homogéneas, ecuación característica (¿de dónde viene?), soluciones posibles según las raíces de la ecuación característica, condiciones iniciales.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 8: seguimos con ecuaciones de segundo orden, ecuaciones de segundo orden no-homogéneas (hallando una solución particular).

    descargue el manuscrito de la clase aquí.


  • TOPOLOGÍA EN EL PLANO Y EL ESPACIO / PRÁCTICO 6:

    Clase 9: normas (axiomas de su definición y ejemplos), distancia o métrica, bolas abiertas.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 10: normas equivalentes, conjuntos abiertos, toda bola abierta es un conjunto abierto, representación gráfica de algunos conjuntos.

    descargue el manuscrito de la clase aquí.



    Clase 11: sucesiones en el plano y el espacio, convergencia, subsucesiones, y algunas consultas.



    Clase 12: puntos de acumulación, puntos interiores y puntos de frontera de un conjunto, interior, clausura y frontera de un conjunto, subsucesiones y Bolzano-Weierstrass.


  • LÍMITES Y CONTINUIDAD / PRÁCTICO 7:

    Clase 13: dos definiciones equivalentes de la clausura de un conjunto, representación gráfica de funciones de varias variables (conjuntos de nivel).



    Clase 14: límites (definición y propiedades), ejemplo sencillo, cambio trigonométrico, cálculo de límites por caminos direferentes (límites direccionales y no existencia de límites).



    Clase 15: conjuntos de nivel, límites por caminos diferentes (no existencia de límites), levantamiento de indeterminaciones, caso donde existe el límite usando cambio trigonométrico



    Clase 16: continuidad (definición y propiedades), asegurar que el límite en un punto vale cero para producto de funciones (una acotada y otra con límites cero), puntos problema en el estudio de continuidad, existencia de límites por epsilon-delta, extensiones continuas de funciones, la imagen inversa de un conjunto abierto por una función continua es abierto.

  • DIFERENCIABILIDAD / PRÁCTICO 8:

    Clase 17: derivadas parciales, otra vez continuidad, derivadas direccionales, cálculo de derivadas direccionales cuando se tiene una función diferenciable en un punto.



    Clase 18: concepto de diferenciabilidad, condiciones suficientes para diferenciabilidad, funciones de clase C1 y C2.



    Clase 19: continuidad, diferenciabilidad y derivadas parciales en un punto.



    Clase 20: plano tangente (cómo obtener su ecuación, ejemplos), conos y cilindros, diferenciabilidad de funciones vectoriales, matriz Jacobiana y regla de la cadena.



    Clase 22: límites y continuidad, derivadas parciales y direccionales, matriz Jacobiana.



    Clase 25: cálculo de la derivada direccional de una función compuesta diferenciable, continuidad y derivadas direccionales en puntos problemáticos del dominio de una función, Hessiano con determinante nulo.

  • DIFERENCIABILIDAD / PRÁCTICO 9:

    Clase 21: teoremas de Taylor para funciones diferenciables y de clase C3, diferencial de orden 2 y matriz Hessiana, levantamiento de indeterminaciones usando el teorema de Taylor, diferenciales de orden superior, combinatoria en derivadas parciales cruzadas de orden superior.



    Clase 23: extremos absolutos de una función de dos variables, puntos críticos y cómo hallarlos, desarrollo de Taylor de orden dos alrededor de un punto crítico, signo del diferencial de orden dos, repaso de formas cuadráticas, Criterio del Diferencial de Orden Dos.



    Por un descuido de mi parte, no se grabó el último bloque de la clase. En el mismo aparecía la versión alternativa del Criterio del Diferencial de Orden Dos y un ejemplo sobre cómo hallar los puntos críticos de una función y cómo clasificarlos. He escrito unas notas donde lo visto en la clase aparece de forma más detallada (están disponibles aquí).

    Clase 24: notación del vector de incremento en la definición de diferenciabilidad, rastreando máximos y mínimos absolutos, clasificar un punto crítico cuando el determinante de la matriz Hessiana da cero (y por ende el Criterio del Diferencial de Orden Dos no decide).



    Clase 26: Teorema de Taylor para funciones de clase Cp+1, fórmula para el diferencial de orden p para funciones de dos variables, máximos y mínimos absolutos para funciones con parámetros.

  • INTEGRALES MÚLTIPLES / PRÁCTICO 10:

    Clase 27: comentarios de la definición de integral doble y de la propiedad de aditividad sobre el dominio de integración, cambio de orden en una integral doble y expresión de regiones de tipo I y II.



    Clase 28: cambio en el orden de integración, dominios de integración que son uniones de regiones de tipo I y II.



    Clase 29: Teorema de cambio de variable en integrales dobles, cambio de variables a coordenadas polares, cambio de variables lineal.



    Clase 30: Teorema de cambio de variable en integrales dobles y triples, volumen de una región en el espacio, cambio de variables a coordenadas cilíndricas.



    Clase 31: cambio de variables a coordenadas cilíndricas y esféricas, aditividad en el dominio de integración para integrales triples.



    Clase 32: cambio de variables a coordenadas cilíndricas y esféricas con pequeñas alteraciones (para regiones de integración con curvas de nivel que son elipses), área de la campana de Gauss.

  • Resolución del simulacro II:


Bibliografía



  • Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (Notas de curso).
    Marcelo Fiori.
    Disponible aquí.
    Referencia principal.
  • Calculus (Vol. 1).
    Tom M. Apostol.
    Editorial Reverté.
    Referencia complementaria para la 1ra parte del curso (complejos - ecuaciones diferenciales).
  • Cálculo Vectorial.
    Jerry E. Marsden y Anthony J. Tromba.
    Editorial Pearson.
    Referencia complementaria para la 2da parte del curso (topología - integrales múltiples).

Música para estudiar



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