Cálculo diferencial e integral de una variable

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Programa



  • Conjuntos y operaciones entre ellos. Complementación, intersección, unión, diferencia y producto cartesiano de conjuntos. Funciones y ejemplos. Clasificación de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Composición de funciones y su relación con inyectividad y sobreyectividad. Funciones invertibles. Cálculo de la inversa de una función invertible.
  • Principio de inducción completa. Aplicaciones de inducción: el principio del buen orden, demostrar que el conjunto de partes de todo conjunto de n elementos posee 2n elementos. Teoría axiomática de números reales: axiomas de cuerpo.
  • Teoría axiomática de números reales: axiomas de orden y de completitud. Propiedades que se demuestran por medio de los axiomas de orden. Interpretación del conjunto de números reales como una recta en el plano. Cota superior, elemento máximo y extremo superior de un conjunto. Cota inferior, elemento mínimo y extremo inferior de un conjunto. Propiedades del extremo superior e inferior. Propiedad arquimediana de los números reales. Todo número real no negativo posee raíz cuadrada positiva (existencia de irracionales).
  • Integrales I: Motivación y algunas aplicaciones de la noción (informal) de integral. Particiones del intervalo. Funciones escalonadas. Integrales de funciones escalonadas. Definición de integral para funciones más generales a partir de funciones escalonadas.
  • Integrales II: Propiedades de la integral de funciones escalonadas: aditividad respecto a la suma y al intervalo de integración, homogeneidad, linealidad, monotonía, traslación y contracción. Sumas superiores e inferiores. Integrales superiores e inferiores. Ejemplos de funciones integrables. Propiedades de la integral.
  • Límites y continuidad I: Entornos. Concepto de límite. Ejemplos (método analítico para encontrar delta a partir de epsilon - en rectas y parábolas).
  • Límites y continuidad II: Ejemplos (método geométrico para encontrar delta a partir de epsilon - en parábolas y para la función raíz cuadrada). Propiedades algebraicas de los límites. Más ejemplos (indeterminaciones del tipo 0/0). Propiedades de monotonía (Teorema del sandwich).
  • Límites y continuidad III: Definición de continuidad. Propiedades de la continuidad. Límites que valen ∞ (la "aritmética" de ∞ e indeterminaciones del tipo ∞ - ∞ y ∞/∞). Límites laterales. Límites en +∞ y -∞. Ejemplos de límites especiales.
  • Valores intermedios: Teorema de Bolzano y el Teorema de Valores Intermedios. Demostración de que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz. Extremos absolutos: máximos y mínimos absolutos de una función. Teorema de acotación de funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado y acotado. Teorema de Weierstrass.
  • Monotonía y continuidad de funciones inversas. La inversa de toda función continua y estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) es continua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente). Ejemplos de inversas y continuidad: función raíz n-ésima, función exponencial, función potencia generalizada, y función arcotangente.
  • Continuidad uniforme: definición, comparación con la continuidad estándar, ejemplo de una función continua que no es uniformemente continua.
  • Continuidad uniforme: ejemplos de funciones uniformemente continuas, propiedades, el Teorema de Heine-Cantor, integrabilidad de funciones continuas, Teorema del Valor para integrales.
  • Derivadas I: el concepto de derivada de una función, ejemplos de derivadas (funciones constantes, funciones afines y regla de los exponentes).
  • Derivadas II: más ejemplos de derivadas (funciones seno y coseno, función logaritmo, función exponencial y raíz n-ésima). Propiedades algebraicas de la derivada: aditividad y homogeneidad, regla del producto, regla del cociente. Regla de la cadena (derivación de composición de funciones). Extremos relativos de una función. Anulación de la derivada en los puntos donde la función alcanza extremos relativos. Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio de Lagrange y Teorema de Cauchy.
  • Aplicaciones del Teorema del Valor Medio de Lagrange en el cálculo de ciertos límites y en la demostración de la continuidad uniforme para ciertas funciones. Criterio de la derivada primera para la monotonía de funciones. Criterio de la derivada primera para la determinación de extremos relativos. Criterio de la derivada segunda para la determinación de extremos relativos. Criterio de la derivada segunda para el estudio de convexidad de funciones. Bosquejo de la gráfica de una función usando los criterios de derivación.
  • Teorema Fundamental del Cálculo y métodos de integración: Primer Teorema Fundamental del Cálculo. El concepto de primitiva de una función. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Método de sustitución o cambio de variable.
  • Métodos de integración: continuación del método de sustitución. Método de integración por partes. Método de descomposición por fracciones simples.
  • Aproximación de funciones por polinomios. Polinomios de Taylor. Propiedades de los polinomios de Taylor. Fórmula de Taylor con resto. Estimación del error en la fórmula de Taylor. Resolución de formas indeterminadas. Regla de l'Hôpital.

NOTAS DE CURSO: Puede descargar a continuación las notas para cada uno de los temas del curso.


Bibliografía



Además de hacer uso del material disponible en la web del curso dentro de la plataforma EVA, también consultaré la siguiente bibliografía para preparar mis clases:

  • Calculus (Vol. 1). Tom M. Apostol. Editorial Reverté. (Referencia principal).
  • A First Course in Calculus. Serge Lang. Editorial Springer. (Referencia complementaria).
  • Cálculo Diferencial e Integral. N. Piskunov. Editorial Limusa. (Referencia complementaria).


Música para estudiar



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